The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(2^n, INF).

(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

zeros → cons(0, n__zeros)
U11(tt) → tt
U21(tt) → tt
U31(tt) → tt
U41(tt, V2) → U42(isNatIList(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isNatList(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt, L, N) → U62(isNat(activate(N)), activate(L))
U62(tt, L) → s(length(activate(L)))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatList(activate(V1)))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNat(activate(V1)))
isNatIList(V) → U31(isNatList(activate(V)))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(isNat(activate(V1)), activate(V2))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U51(isNat(activate(V1)), activate(V2))
length(nil) → 0
length(cons(N, L)) → U61(isNatList(activate(L)), activate(L), N)
zeros → n__zeros
0 → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__0) → 0
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(X) → X

Rewrite Strategy: FULL

(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)

The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(2ⁿ):
The rewrite sequence
activate(n__length(n__cons(X129415_3, X229416_3))) →⁺ U61(isNatList(activate(X229416_3)), activate(X229416_3), activate(X129415_3))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0,0].
The pumping substitution is [X229416_3 / n__length(n__cons(X129415_3, X229416_3))].
The result substitution is [ ].

The rewrite sequence
activate(n__length(n__cons(X129415_3, X229416_3))) →⁺ U61(isNatList(activate(X229416_3)), activate(X229416_3), activate(X129415_3))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [1].
The pumping substitution is [X229416_3 / n__length(n__cons(X129415_3, X229416_3))].
The result substitution is [ ].

(2) BOUNDS(2^n, INF)

(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(4) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt) → tt
U21(tt) → tt
U31(tt) → tt
U41(tt, V2) → U42(isNatIList(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isNatList(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt, L, N) → U62(isNat(activate(N)), activate(L))
U62(tt, L) → s(length(activate(L)))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatList(activate(V1)))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNat(activate(V1)))
isNatIList(V) → U31(isNatList(activate(V)))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(isNat(activate(V1)), activate(V2))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U51(isNat(activate(V1)), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U61(isNatList(activate(L)), activate(L), N)
zeros → n__zeros
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(X) → X

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(6) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt) → tt
U21(tt) → tt
U31(tt) → tt
U41(tt, V2) → U42(isNatIList(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isNatList(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt, L, N) → U62(isNat(activate(N)), activate(L))
U62(tt, L) → s(length(activate(L)))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatList(activate(V1)))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNat(activate(V1)))
isNatIList(V) → U31(isNatList(activate(V)))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(isNat(activate(V1)), activate(V2))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U51(isNat(activate(V1)), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U61(isNatList(activate(L)), activate(L), N)
zeros → n__zeros
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
cons :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
0' :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__zeros :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U11 :: tt → tt
tt :: tt
U21 :: tt → tt
U31 :: tt → tt
U41 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U42 :: tt → tt
isNatIList :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
activate :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U51 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U52 :: tt → tt
isNatList :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U61 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U62 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
isNat :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
s :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
length :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__0 :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__length :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__s :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__cons :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__nil :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
nil :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil1_3 :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_tt2_3 :: tt
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_3 :: Nat → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil

(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
isNatIList, activate, isNatList, isNat, length

They will be analysed ascendingly in the following order:
activate < isNatIList
isNatList < isNatIList
isNat < isNatIList
activate = isNatList
activate = isNat
activate = length
isNatList = isNat
isNatList = length
isNat = length

(8) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt) → tt
U21(tt) → tt
U31(tt) → tt
U41(tt, V2) → U42(isNatIList(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isNatList(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt, L, N) → U62(isNat(activate(N)), activate(L))
U62(tt, L) → s(length(activate(L)))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatList(activate(V1)))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNat(activate(V1)))
isNatIList(V) → U31(isNatList(activate(V)))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(isNat(activate(V1)), activate(V2))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U51(isNat(activate(V1)), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U61(isNatList(activate(L)), activate(L), N)
zeros → n__zeros
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
cons :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
0' :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__zeros :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U11 :: tt → tt
tt :: tt
U21 :: tt → tt
U31 :: tt → tt
U41 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U42 :: tt → tt
isNatIList :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
activate :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U51 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U52 :: tt → tt
isNatList :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U61 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U62 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
isNat :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
s :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
length :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__0 :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__length :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__s :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__cons :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__nil :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
nil :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil1_3 :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_tt2_3 :: tt
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_3 :: Nat → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil

Generator Equations:
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_3(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_3(+(x, 1)) ⇔ n__length(gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_3(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
length, isNatIList, activate, isNatList, isNat

They will be analysed ascendingly in the following order:
activate < isNatIList
isNatList < isNatIList
isNat < isNatIList
activate = isNatList
activate = isNat
activate = length
isNatList = isNat
isNatList = length
isNat = length

(9) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol length.

(10) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt) → tt
U21(tt) → tt
U31(tt) → tt
U41(tt, V2) → U42(isNatIList(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isNatList(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt, L, N) → U62(isNat(activate(N)), activate(L))
U62(tt, L) → s(length(activate(L)))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatList(activate(V1)))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNat(activate(V1)))
isNatIList(V) → U31(isNatList(activate(V)))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(isNat(activate(V1)), activate(V2))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U51(isNat(activate(V1)), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U61(isNatList(activate(L)), activate(L), N)
zeros → n__zeros
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
cons :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
0' :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__zeros :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U11 :: tt → tt
tt :: tt
U21 :: tt → tt
U31 :: tt → tt
U41 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U42 :: tt → tt
isNatIList :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
activate :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U51 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U52 :: tt → tt
isNatList :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U61 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U62 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
isNat :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
s :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
length :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__0 :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__length :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__s :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__cons :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__nil :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
nil :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil1_3 :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_tt2_3 :: tt
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_3 :: Nat → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil

Generator Equations:
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_3(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_3(+(x, 1)) ⇔ n__length(gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_3(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isNatList, isNatIList, activate, isNat

They will be analysed ascendingly in the following order:
activate < isNatIList
isNatList < isNatIList
isNat < isNatIList
activate = isNatList
activate = isNat
activate = length
isNatList = isNat
isNatList = length
isNat = length

(11) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNatList.

(12) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt) → tt
U21(tt) → tt
U31(tt) → tt
U41(tt, V2) → U42(isNatIList(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isNatList(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt, L, N) → U62(isNat(activate(N)), activate(L))
U62(tt, L) → s(length(activate(L)))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatList(activate(V1)))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNat(activate(V1)))
isNatIList(V) → U31(isNatList(activate(V)))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(isNat(activate(V1)), activate(V2))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U51(isNat(activate(V1)), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U61(isNatList(activate(L)), activate(L), N)
zeros → n__zeros
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
cons :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
0' :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__zeros :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U11 :: tt → tt
tt :: tt
U21 :: tt → tt
U31 :: tt → tt
U41 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U42 :: tt → tt
isNatIList :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
activate :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U51 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U52 :: tt → tt
isNatList :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U61 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U62 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
isNat :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
s :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
length :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__0 :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__length :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__s :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__cons :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__nil :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
nil :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil1_3 :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_tt2_3 :: tt
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_3 :: Nat → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil

Generator Equations:
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_3(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_3(+(x, 1)) ⇔ n__length(gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_3(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isNat, isNatIList, activate

They will be analysed ascendingly in the following order:
activate < isNatIList
isNatList < isNatIList
isNat < isNatIList
activate = isNatList
activate = isNat
activate = length
isNatList = isNat
isNatList = length
isNat = length

(13) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNat.

(14) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt) → tt
U21(tt) → tt
U31(tt) → tt
U41(tt, V2) → U42(isNatIList(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isNatList(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt, L, N) → U62(isNat(activate(N)), activate(L))
U62(tt, L) → s(length(activate(L)))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatList(activate(V1)))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNat(activate(V1)))
isNatIList(V) → U31(isNatList(activate(V)))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(isNat(activate(V1)), activate(V2))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U51(isNat(activate(V1)), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U61(isNatList(activate(L)), activate(L), N)
zeros → n__zeros
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
cons :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
0' :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__zeros :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U11 :: tt → tt
tt :: tt
U21 :: tt → tt
U31 :: tt → tt
U41 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U42 :: tt → tt
isNatIList :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
activate :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U51 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U52 :: tt → tt
isNatList :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U61 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U62 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
isNat :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
s :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
length :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__0 :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__length :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__s :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__cons :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__nil :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
nil :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil1_3 :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_tt2_3 :: tt
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_3 :: Nat → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil

Generator Equations:
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_3(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_3(+(x, 1)) ⇔ n__length(gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_3(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
activate, isNatIList

They will be analysed ascendingly in the following order:
activate < isNatIList
isNatList < isNatIList
isNat < isNatIList
activate = isNatList
activate = isNat
activate = length
isNatList = isNat
isNatList = length
isNat = length

(15) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
activate(gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_3(+(1, n9037_3))) → *4_3, rt ∈ Ω(n9037₃)

Induction Base:
activate(gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_3(+(1, 0)))

Induction Step:
activate(gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_3(+(1, +(n9037_3, 1)))) →_R^Ω(1)
length(activate(gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_3(+(1, n9037_3)))) →_IH
length(*4_3)

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(16) Complex Obligation (BEST)

(17) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt) → tt
U21(tt) → tt
U31(tt) → tt
U41(tt, V2) → U42(isNatIList(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isNatList(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt, L, N) → U62(isNat(activate(N)), activate(L))
U62(tt, L) → s(length(activate(L)))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatList(activate(V1)))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNat(activate(V1)))
isNatIList(V) → U31(isNatList(activate(V)))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(isNat(activate(V1)), activate(V2))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U51(isNat(activate(V1)), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U61(isNatList(activate(L)), activate(L), N)
zeros → n__zeros
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
cons :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
0' :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__zeros :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U11 :: tt → tt
tt :: tt
U21 :: tt → tt
U31 :: tt → tt
U41 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U42 :: tt → tt
isNatIList :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
activate :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U51 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U52 :: tt → tt
isNatList :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U61 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U62 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
isNat :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
s :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
length :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__0 :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__length :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__s :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__cons :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__nil :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
nil :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil1_3 :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_tt2_3 :: tt
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_3 :: Nat → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil

Lemmas:
activate(gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_3(+(1, n9037_3))) → *4_3, rt ∈ Ω(n9037₃)

Generator Equations:
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_3(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_3(+(x, 1)) ⇔ n__length(gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_3(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
length, isNatIList, isNatList, isNat

They will be analysed ascendingly in the following order:
activate < isNatIList
isNatList < isNatIList
isNat < isNatIList
activate = isNatList
activate = isNat
activate = length
isNatList = isNat
isNatList = length
isNat = length

(18) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol length.

(19) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt) → tt
U21(tt) → tt
U31(tt) → tt
U41(tt, V2) → U42(isNatIList(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isNatList(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt, L, N) → U62(isNat(activate(N)), activate(L))
U62(tt, L) → s(length(activate(L)))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatList(activate(V1)))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNat(activate(V1)))
isNatIList(V) → U31(isNatList(activate(V)))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(isNat(activate(V1)), activate(V2))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U51(isNat(activate(V1)), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U61(isNatList(activate(L)), activate(L), N)
zeros → n__zeros
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
cons :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
0' :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__zeros :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U11 :: tt → tt
tt :: tt
U21 :: tt → tt
U31 :: tt → tt
U41 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U42 :: tt → tt
isNatIList :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
activate :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U51 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U52 :: tt → tt
isNatList :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U61 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U62 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
isNat :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
s :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
length :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__0 :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__length :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__s :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__cons :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__nil :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
nil :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil1_3 :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_tt2_3 :: tt
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_3 :: Nat → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil

Lemmas:
activate(gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_3(+(1, n9037_3))) → *4_3, rt ∈ Ω(n9037₃)

Generator Equations:
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_3(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_3(+(x, 1)) ⇔ n__length(gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_3(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isNatList, isNatIList, isNat

They will be analysed ascendingly in the following order:
activate < isNatIList
isNatList < isNatIList
isNat < isNatIList
activate = isNatList
activate = isNat
activate = length
isNatList = isNat
isNatList = length
isNat = length

(20) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNatList.

(21) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt) → tt
U21(tt) → tt
U31(tt) → tt
U41(tt, V2) → U42(isNatIList(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isNatList(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt, L, N) → U62(isNat(activate(N)), activate(L))
U62(tt, L) → s(length(activate(L)))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatList(activate(V1)))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNat(activate(V1)))
isNatIList(V) → U31(isNatList(activate(V)))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(isNat(activate(V1)), activate(V2))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U51(isNat(activate(V1)), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U61(isNatList(activate(L)), activate(L), N)
zeros → n__zeros
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
cons :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
0' :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__zeros :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U11 :: tt → tt
tt :: tt
U21 :: tt → tt
U31 :: tt → tt
U41 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U42 :: tt → tt
isNatIList :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
activate :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U51 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U52 :: tt → tt
isNatList :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U61 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U62 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
isNat :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
s :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
length :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__0 :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__length :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__s :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__cons :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__nil :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
nil :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil1_3 :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_tt2_3 :: tt
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_3 :: Nat → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil

Lemmas:
activate(gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_3(+(1, n9037_3))) → *4_3, rt ∈ Ω(n9037₃)

Generator Equations:
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_3(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_3(+(x, 1)) ⇔ n__length(gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_3(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isNat, isNatIList

They will be analysed ascendingly in the following order:
activate < isNatIList
isNatList < isNatIList
isNat < isNatIList
activate = isNatList
activate = isNat
activate = length
isNatList = isNat
isNatList = length
isNat = length

(22) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNat.

(23) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt) → tt
U21(tt) → tt
U31(tt) → tt
U41(tt, V2) → U42(isNatIList(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isNatList(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt, L, N) → U62(isNat(activate(N)), activate(L))
U62(tt, L) → s(length(activate(L)))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatList(activate(V1)))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNat(activate(V1)))
isNatIList(V) → U31(isNatList(activate(V)))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(isNat(activate(V1)), activate(V2))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U51(isNat(activate(V1)), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U61(isNatList(activate(L)), activate(L), N)
zeros → n__zeros
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
cons :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
0' :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__zeros :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U11 :: tt → tt
tt :: tt
U21 :: tt → tt
U31 :: tt → tt
U41 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U42 :: tt → tt
isNatIList :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
activate :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U51 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U52 :: tt → tt
isNatList :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U61 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U62 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
isNat :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
s :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
length :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__0 :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__length :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__s :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__cons :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__nil :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
nil :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil1_3 :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_tt2_3 :: tt
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_3 :: Nat → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil

Lemmas:
activate(gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_3(+(1, n9037_3))) → *4_3, rt ∈ Ω(n9037₃)

Generator Equations:
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_3(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_3(+(x, 1)) ⇔ n__length(gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_3(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isNatIList

(24) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNatIList.

(25) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt) → tt
U21(tt) → tt
U31(tt) → tt
U41(tt, V2) → U42(isNatIList(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isNatList(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt, L, N) → U62(isNat(activate(N)), activate(L))
U62(tt, L) → s(length(activate(L)))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatList(activate(V1)))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNat(activate(V1)))
isNatIList(V) → U31(isNatList(activate(V)))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(isNat(activate(V1)), activate(V2))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U51(isNat(activate(V1)), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U61(isNatList(activate(L)), activate(L), N)
zeros → n__zeros
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
cons :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
0' :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__zeros :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U11 :: tt → tt
tt :: tt
U21 :: tt → tt
U31 :: tt → tt
U41 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U42 :: tt → tt
isNatIList :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
activate :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U51 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U52 :: tt → tt
isNatList :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U61 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U62 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
isNat :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
s :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
length :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__0 :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__length :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__s :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__cons :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__nil :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
nil :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil1_3 :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_tt2_3 :: tt
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_3 :: Nat → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil

Lemmas:
activate(gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_3(+(1, n9037_3))) → *4_3, rt ∈ Ω(n9037₃)

Generator Equations:
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_3(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_3(+(x, 1)) ⇔ n__length(gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_3(x))

No more defined symbols left to analyse.

(26) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
activate(gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_3(+(1, n9037_3))) → *4_3, rt ∈ Ω(n9037₃)

(27) BOUNDS(n^1, INF)

(28) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt) → tt
U21(tt) → tt
U31(tt) → tt
U41(tt, V2) → U42(isNatIList(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isNatList(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt, L, N) → U62(isNat(activate(N)), activate(L))
U62(tt, L) → s(length(activate(L)))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatList(activate(V1)))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNat(activate(V1)))
isNatIList(V) → U31(isNatList(activate(V)))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(isNat(activate(V1)), activate(V2))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U51(isNat(activate(V1)), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U61(isNatList(activate(L)), activate(L), N)
zeros → n__zeros
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
cons :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
0' :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__zeros :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U11 :: tt → tt
tt :: tt
U21 :: tt → tt
U31 :: tt → tt
U41 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U42 :: tt → tt
isNatIList :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
activate :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U51 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U52 :: tt → tt
isNatList :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U61 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U62 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
isNat :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
s :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
length :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__0 :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__length :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__s :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__cons :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__nil :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
nil :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil1_3 :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_tt2_3 :: tt
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_3 :: Nat → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil

Lemmas:
activate(gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_3(+(1, n9037_3))) → *4_3, rt ∈ Ω(n9037₃)

Generator Equations:
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_3(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_3(+(x, 1)) ⇔ n__length(gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_3(x))

No more defined symbols left to analyse.

(29) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
activate(gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_3(+(1, n9037_3))) → *4_3, rt ∈ Ω(n9037₃)

(30) BOUNDS(n^1, INF)